Gyermekkorát a Békés megyei Kéthalmon töltötte. A pusztai világ nagy hatással volt személyiségének alakulására. Édesapja a harmincas években kezdte el a Sárrét e szegletében a néptanítói pályafutását. Ezermester volt. A "Szeme a távolsághoz, füle a csendhez szokott" - írta róla a Békés megyei lap.

A kéthalmi tanító két gyermeke közül László mérnök, István orvos lett. Szeghalmon érettségiztek 1962-ben.
1974-ben végzett a Pécsi Orvostudományi Egyetemen. Feleségét, Bánki Zsuzsát főiskolai hallgatóként ismerte meg Pécsett, és 1970-ben házasodtak össze. Lányuk, Katalin Győrben született, ahol édesapja elkezdte az orvosi tevékenységét, de rövidesen a Budapest melletti községbe, Maglódra került körzeti orvosnak. Életpályájának második szakasza Maglódon folytatódik tovább. Az általa is szerkesztett Maglód a harmadik évezered küszöbén című könyv társszerzője. 2004 december 1-én az Articsókában, sajtótájékoztatón mutatták be dr. Móczár István A minószi Atlantisz rejtélye című reprezentatív könyvét. A történelmi, régészeti munkában a szerző saját fotóit mutatja be. Előszót Kiszely István professzor, ajánlást Szepes Mária írónő írta.

Felesége, dr. Móczár Istvánné (Bánki Zsuzsa) 1975 óta a helyi iskolában történelem szakos tanárként dolgozik. A rendszerváltás átmeneti éveiben hat évig a maglódi központi iskola igazgatója volt. 

Dr. Móczár István 1974 október 1-én kezdte el üzem-körzeti orvosként hivatását a Pest megyei Maglód-nyaralón. A közéleti munkába is aktívan bekapcsolódott. Álma valósult meg, amikor szervezésével épült meg 1991-ben a központi orvosi rendelő Maglód központjában. Az 1990-es évek közepén az önkormányzat egészségügyi bizottság elnökeként sokat tevékenykedett az új gyermekorvosi státuszokért, a rendelők hálózatban működő számítógépes rendszerének kiépítéséért. Maglódon töltötte 60 éves születésnapját. 

1998-ban háziorvostanból, 1999-ben üzemorvostanból szerzett szakvizsgát. A számítógépes adatfeldolgozásban elsőként kezdte el a praxisának felmérését, s gyakorlatilag a később beszerzett műszerei mind PC-kapcsolatot igényeltek.

1998-tól a Településfejlesztési-és Környezetvédelmi Bizottságnak (TFKB), majd 2001. január 1-jétől az Egészségügyi Bizottságnak (EÜB) az elnöke. 1989 óta alapítója és szerkesztőségi tagja a Maglód újságnak. 

A Magyar Tudományos Akadémián 1988-ban alakult meg a Magyar Környezetvédelmi Egyesület (MKvE), amelynek szintén alapító tagja. 1989-ben megalapította az MKvE maglódi csoportját. 2004 október 19-én, Budapesten dr. Móczár Istvánt „lovaggá avatják” és a „Zöld Gondolat Lovagrend tagja” címet viseli. 2005. április 22-én, a Föld Napján újjá szervezi az egyesületet. 

Lánya, dr. Móczár Katalin követte édesapja hivatását az orvosi pályát.  Dr. Móczár Katalin 2003 március 1-től átvette a praxis vezetését, október 27-én háziorvostanból szerzett szakvizsgát. Édesapja alkalmazottként dolgozik a lánya mellett. Feladatokat jól megosztják egymás közt. Katalin férje, dr. Atkári Bence sebészként dolgozik az Uzsoki Kórházban. Budapesten laknak.